Главная / Препараты

Закон изменения основных средств в модели солоу. Модели экономического роста Солоу: понятие, функции

Модель Солоу

Модель Роберта Солоу была построена на неоклассической предпосылке господства совершенной конкуренции на рынках факторов производства, обеспечивающей полную занятость ресурсов. Ученый исходил из того, что необходимым условием является равенство совокупного спроса и совокупного предложения. При этом совокупное предложение в его модели определялось на основании производственной функции Кобба-Дугласа, выражающей отношение функциональной зависимости между объемом производства, с одной стороны, и используемыми факторами и их взаимной комбинацией - с другой.

Целью модели Солоу является ответ на вопросы: каковы факторы сбалансированного экономического роста, какой темп роста может позволить себе экономика при заданных параметрах экономической системы и как при этом максимизируются доходы населения и объем потребления.

В общем виде объем национального выпуска Y является функцией 3-х факторов производства: труда L , капитала K , земли N :

Y = f (L , K , N )

Фактор земли в модели Солоу был опущен ввиду малой эффективности в экономических системах, характеризующихся высоким технологическим уровнем, и поэтому объем выпуска зависит от трудовых и производственных факторов Y = f (L , K ).

В развернутом виде эта формула имеет вид:

Y = DY / DL) * L + (DY / DK) * K(3.31)

где DY / DL – предельный продукт труда MPL , DY / DK – предельный продукт капитала MPK .

Это значит, что общий продукт равняется сумме произведений затраченного количества труда и капитала на их предельные продукты, т.е. на прирост продуктов DY от увеличения затрат труда DL и затрат капитала DK. В упрощенном виде y = Y / L, где y – производительность труда; k = K/ L, где k - капиталовооруженность труда. Тогда производственная функция имеет вид y= f (k ), где f (k ) = F (k ,1).

Графическое изображение этой функции имеет вид, показанный на рис. 3.1. Рисунок показывает, что капиталовооруженность k определяет размер выпуска продукции на одного работника: y = f (k ).

Рис. 3.1. График производственной функции в модели Солоу

При этом tga = MPK : если k увеличивается на одну единицу, то y возрастает на МРК единиц. По мере роста капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, т.к. МРК снижается.

Совокупный спрос в модели Солоу определяется инвестиционным и потребительским спросом. Уравнение выпуска продукции на одного работника имеет вид:

g = с + i (3.32)

где с и i – потребление и инвестиции.

Доход делится между потреблением и сбережениями в соответствии с нормой сбережения, так что потребление можно представить как

с = (1 - s ) y , (3.33)

где s - норма сбережения (накопления)

Тогда у = с + i = (1- s ) y + i , откуда i = sy . В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

В результате условие равенства спроса и предложения может быть представлено как:

f (k ) = c + i или f (k ) = i / s.

Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на производственную продукцию. Объем же капитала меняется под воздействием инвестиции выбытия. Инвестиции в расчете на одного работника являются частью дохода, приходящегося на одного работника (i = sy ) или

i = s * f(k). (3.34)

Из этого следует, что, чем выше уровень капиталовооруженности k , тем выше уровень производства f (k ) и больше инвестиции i .

В модели Р.Солоу норма сбережений – ключевой фактор, определяющий уровень устойчивости капиталовооруженности. Более высокая норма сбережений обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень производства.

Другим фактором непрерывного экономического роста в условиях устойчивой экономики является рост населения. Для устойчивости экономики необходимо, чтобы инвестиции sf (k ) должны компенсировать последствия выбытия капитала и рост капитала (d + n ) k , на графике точка Е (рис. 3.2). Однако, если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет к уменьшению запаса капитала на одного работника.

Таким образом, если страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооруженность, то значит – и более низкие доходы.

Рис. 3.2. Инвестиции s f (k ) и рост капитала (d + n ) k

Третьим источником экономического роста после инвестиций и увеличения численности населения является технический прогресс. В неоклассической теории технический прогресс - это качественные изменения в производстве (повышение образования работников, улучшение организации труда, рост масштабов производства) .

Включение в модель технического прогресса изменит исходную производственную функцию: Y = f (K , L e , e ), где e - эффективность труда одного работника (зависит от здоровья, образования, квалификации), L e – численность эффективных единиц рабочей силы.

Технический прогресс вызывает прирост эффективности e с постоянным темпом g . Если g = 5%, то отдача от каждой единицы труда увеличиться на 5 % в год, а это равносильно тому, что объем производства возрастает так, как если бы рабочая сила за год выросла на 5 %. Это трудосберегающая форма технического прогресса.

Если же численность занятых L растет с темпом n , а эффективность e растет с темпом g , то L e будет увеличиваться с темпом n + g . Капитал на единицу труда с постоянной эффективностью составит k 1 + [K /(L e )], а объем производства на единицу труда с постоянной эффективностью y 1 = Y / (L e ). Состояние устойчивого равновесия достигается при условии s x f (k 1) = (d + n + g ) x k 1 , где d - норма амортизации.

Из вышеприведенного равенства следует, что существует лишь один уровень капиталовооруженности k 1 , при которой капитал и выпуск продукции, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Условие постоянства капитала и выпуска продукции, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью

В устойчивом состоянии k 1 при наличии технического прогресса общий объем капитала К и выпуск Y будет расти с темпом n + g . В расчете на одного работника капиталовооруженность k/L и выпуск Y/L будет расти с темпом g . Таким образом, технический прогресс в модели Солоу - это единственное условие непрерывного экономического развития .

В модели Роберта Солоу показано, как связаны между собой рост запасов капитала, рабочей силы и улучшение технологии и каким образом они воздействуют на объем выпуска. Первоначальный анализ заключается в определении влияния спроса и предложения товаров на накопление капитала. При этом объем рабочей силы и технология предполагаются неизменными. В последующем анализе этих допущений не будет.

Модель Солоу доказывает, что нестабильность динамического равновесия в неокейнсианских моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. В своем анализе использовал производственную функцию Кобба-Дугласа, в которой труд и капитал являются субститутами.

Взаимозаменяемость факторов (изменение капиталовооруженности) объясняется не только технологическими условиями, но и классической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов. Другими предпосылками анализа в модели Солоу служили убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов.

Как неоднократно отмечалось выше, необходимым условием равновесия экономической системы является равенство совокупного спроса и совокупного предложения. Совокупное предложение в модели Р. Солоу описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба:

где Y - объем выпуска; F(K,L) - функция от капитала и труда соответственно.

Вследствие допущения постоянной отдачи от масштаба производства для любого положительного числа z верно следующее равенство:

Допустим, .

где - объем выпуска в расчете на одного работника; - объем капитала в расчете на одного работника.

Обозначим через y (производительность труда), а через k (капиталовооруженность) и представим уравнение в виде взаимосвязи производительности и капиталовооруженности:

График производственной функции показывает зависимость между капиталовооруженностью k и средней производительностью труда:

Совокупный спрос в модели Солоу равен

где с - потребление на одного работника, а i - инвестиции на одного работника.

Так как доход делится между потреблением и сбережениями в соответствии со сложившейся предельной склонностью к сбережению, то потребление будет равно: с = (1 - mps)y (где mps -- норма сбережения (накопления), или предельная склонность к сбережению). Тогда уравнение примет вид:

После преобразования получим:

Это уравнение показывает, что инвестиции (как и потребление) пропорциональны доходу. В условиях равновесия они равны сбережениям и норма сбережения отражает, какая часть произведенной продукции идет на капитальные вложения. Заменим y выражением производственной функции и получим функцию инвестиций от капиталовооруженности:

Чем выше уровень капиталовооруженности, тем больше объем выпуска и инвестиции, приходящиеся на одного работника.

Для определения устойчивого состояния экономики в модели Солоу необходимо рассмотреть проблему накопления капитала. Динамика объема выпуска зависит от объема (запаса) капитала, который в свою очередь зависит от объема инвестиций i и нормы выбытия капитала: инвестиции увеличивают запас капитала, а выбытие -- уменьшает.

Обозначим норму выбытия капитала (норму амортизации) символом. Так как по условию норма выбытия постоянна, то ежегодно вследствие выбытия капитала его запас должен уменьшаться на и увеличиваться на i. Тогда условие накопления капитала можно записать в виде уравнения:

Поскольку инвестиции равны сбережениям, то изменение запасов капитала можно выразить следующим образом:.

Данное уравнение представляет собой условие накопления капитала. Если прирост инвестиций в текущем году равен выбытию в текущем году, то изменение запаса капитала равно нулю. Производство, сбережения и требуемые инвестиции достигают определенного устойчивого уровня, т.е. в экономике устанавливается состояние равновесия. Уровень капиталовооруженности k", при котором, называется равновесным устойчивым уровнем капиталовооруженности. Он характеризует состояние долгосрочного равновесия экономики. В равновесном состоянии объем выпуска не изменяется, а сбережения и требуемые инвестиции равны.

Модель Солоу показывает, что норма сбережения (накопления) - это основной фактор, определяющий уровень устойчивой капиталовооруженности. Более высокая норма сбережения обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень выпуска на душу населения. Рост нормы сбережения с s 1 до s 2 сдвигает кривую инвестиций s 1 f(k) в положение s 2 f(k), и экономика переходит в новое равновесное состояние.

Увеличение нормы сбережения обеспечивает экономический рост до момента достижения нового устойчивого равновесия (с большей капиталовооруженностью и производительностью), при котором запасы капитала и объем выпуска постоянны. Если в экономике поддерживается высокая норма сбережений, то и капиталовооруженность, и производительность будут высоки. Вместе с тем очевидно, что увеличение нормы сбережения не может объяснить механизм непрерывного экономического роста в долгосрочном периоде. Необходимо расширить модель Солоу, включив в нее два других источника экономического роста - рост населения и технологический прогресс.

Важным источником экономического роста является рост населения, а точнее -- увеличение численности занятых (работников). Предположим, что население растет с постоянным темпом п, а его численность равна числу занятых. Следовательно, количество работников также увеличивается темпами п. Линия инвестиций, требуемых для замены изнашиваемого капитала и поддержания устойчивого равновесия, сместится влево в положение (п +)k.

Если n -- темп роста занятых, а -- норма выбытия капитала, то (п+)k -- объем инвестиции, необходимый для поддержания капиталовооруженности на постоянном уровне.

При постоянном запасе капитала и росте численности работников уровень устойчивой капиталовооруженности уменьшится до. Одновременно уменьшится и выпуск на душу населения до. Это позволяет объяснить низкий уровень дохода на душу населения во многих развивающихся странах.

Но чтобы капиталовооруженность оставалась k" и при росте населения, запас капитала должен увеличиваться одинаковыми с ним темпами. Это возможно, если такими же окажутся темпы роста инвестиций. Рост последних приведет к повышению уровня выпуска национального продукта гармонизированными темпами, т.е. можно записать:

В этом случае при росте численности населения темпами п национальный продукт будет возрастать с тем же темпом, что и население, и достигнет.

Таким образом, рост населения является одной из причин непрерывного экономического роста в условиях устойчивого состояния экономики, но он не объясняет повышение уровня жизни в долгосрочном периоде.

Третьим источником экономического роста после инвестиций и увеличения численности занятых является технологический прогресс. В модели Солоу предполагается трудосберегающий тип технологического прогресса, под влиянием которого повышается эффективность труда одного работника. Производственная функция представлена как Y=F(K,L E), где Е - эффективность труда, а L E - число занятых с постоянной эффективностью Е. Чем выше Е, тем больше продукции может быть произведено данным числом работников. Предполагается, что эффективность труда одного работника увеличивается с постоянным темпом g, то есть?E/E=g.

Рост эффективности труда в данном случае аналогичен по результатам росту численности занятых. Если численность занятых L растет с темпом n: а эффективность труда Е увеличивается в связи с технологическим прогрессом с темпом g, то L E будет увеличиваться с темпом n+g, или?L/L+?E/E=n+g. Но, в отличие от ситуации с ростом населения, с таким же темпом g станут расти капиталовооруженность (K/L), выпуск (Y/L). Последнее может служить основой повышения благосостояния населения.

Включение в модель Солоу фактора технологического прогресса позволяет понять механизм непрерывного роста уровня жизни. Когда экономика достигает устойчивого состояния, темп увеличения выпуска продукции на одного работника зависит только от скорости технологического прогресса. В модели Солоу найдено объяснение причин непрерывного экономического роста в режиме устойчивого состояния экономики при полной занятости ресурсов в долгосрочном периоде.

: как добиться высоких и стабильных темпов роста, как одновре-менно с этим найти максимальный объем потребления и какое влияние на экономический рост оказывает увеличение населения и внедрение новых технологий.

Построение модели. Разделив двухфакторную производственную функ-цию Y = F(K,L) на количество труда L, мы получим производственную фун-кцию для одного человека: у = f(k), где к = K/L - уровень капиталовоору-женности единицы труда. Доход предстает как функция только одного фак-тора - капиталовооруженности. Такая единичная производственная функ-ция изображена на рис. 25.2.

В данной функции предельная производительность капитала МР изме-ряется постоянно меняющимся углом наклона кривой у =/(к) и показыва-ет прирост выпуска, если капиталовооруженность работника возрастет на 1 единицу, т. е. МР К = f(k + / ) -f(k).

В модели Солоу спрос на продукцию предъявляется со стороны потре-бителей и инвесторов. Производственные блага в условиях равновесия пол-ностью инвестируются (S = /), не оставляя места накоплению товарно-ма-териальных запасов. Помня о макроэкономическом равенстве Y = С + I, вы-пуск одного работника можно записать в виде у = с + i ; функцию по-требления как с = (l-s)y = (l-s)f(k) 2 , а функцию инвестиций на одного работника как i = sy = s f(k). Графически размер потребления и инвестиций при каждом уровне капиталовооруженности изображены на рис. 25.2. Ли-нией sf (k) обозначена функция инвестиций. Расстояние между функциями f (k) и sf (k) определяет объем потребления. На этом основании функция по-требления выглядит как c = f(k) - Щк).

Рис. 25.2. Производственная функция у = f (к)

Данная функция построена из расчета на одного работника и характери-зуется понижающейся предельной производительностью капитала МР Х

Важное место в модели Солоу занимает рассмотрение движения капи-тальных запасов, величина которых составляет разницу между размером инвестиций и объемом выбытия капитала: Д к =/- 6 к , где 6 - норма выбы-тия капитала (или норма амортизации) и является константой, а 6 к - объем выбытия капитала.

В ходе производства ежегодно пополняются капитальные запасы, неза-висимо от того, с каким объемом капитала экономика начинает развивать-ся. Однако прирост капитала идет затухающими темпами. Это объясняется уже рассмотренным выше снижением предельной производительности ка-питала МР К, происходящей по мере увеличения капиталовооруженности одного работника. Но при наращивании капиталовооруженности растет и объем выбытия капитала.

С ростом производства разница между инвести-циями и объемом выбытия будет уменьшаться до тех пор, пока эти величи-ны не выровняются между собой. Когда Д к = 0, производство, инвестиции и выбытие капитала не могут продолжать свой рост и останавливаются на определенном устойчивом уровне. Экономика достигает равновесия. Уро-вень капиталовооруженности, при котором Д к = 0, называется устойчи-вым уровнем капиталовооруженности (к*) и характеризует состояние равновесия экономики, отличающееся устойчивостью инвестиций и вы-бытия капитала, неизменностью объема производства. В условиях рав-новесия sf(k*) - бк* = 0 или sf(k*) = бк*.

Эта формула дает возможность вычислить устойчивый уровень капита-ловооруженности (к*), не прибегая к длительным подсчетам ежегодного прироста капитала и производства за ряд лет. Из пропорции к*// (к*) = s/6 видно, что к* =f(k*) s/6.

Устойчивый уровень капиталовооруженности можно найти и с помо-щью графического анализа. На рис. 25.3 пересечение графика инвестиций sf(k) и графика выбытия капитала 8 к как раз и будет соответствовать к*.

Величину к* можно найти, опустив перпендикуляр на ось абсцисс из точки пересечения графика инвестиций и графика выбытия капитала, чему соответствует равенство sf(k)= 6к.

Капиталовооруженность

Рис. 25.3. Устойчивый уровень капиталовооруженности к *

Для уяснения работы модели Солоу нужно иметь в виду, что при необ-ходимости государственная политика может повлиять на уровень к*, воз-действуя на норму сбережения s или на норму амортизационных отчисле-ний б , от величины которой зависит скорость обновления капитала. Напри-мер, политика ускоренной амортизации на рис. 25.3 выразится в смещении графика б к до уровня &, к. При этом устойчивый уровень капиталовоору-женности сократится до к* Увеличение нормы сбережений s до s 2 наобо-рот, приведет к повышению равновесного уровня капиталовооруженности до k* 2 в результате смещения графика инвестиций до уровня s 2 f(k).

Модель Солоу показывает, что большему объему инвестиций, а значит, и более высокой норме сбережений в национальном доходе {при условии выполнения равенства S = I), соответствует наибольший доход на душу на-селения. Это статистически подтверждено исследованиями многих эконо-мистов. Так, к странам с наибольшим годовым доходом на душу населения (по состоянию на 1993 г., в долл. США) относятся Великобритания (14660 долл.), Франция (5130 долл.), Германия (16420 долл.), Италия (14670 долл.), США (21530 долл.), Япония (17710 долл.). В этой группе стран на протяжении трех десятилетий разница между средними объемами инвести-ций и сбережений была минимальной (0,1% от ВВП), а норма сбережений - наиболее высокой (23% от ВВП) по сравнению с аналогичными показа-телями в странах с более низкими доходами. В странах со средним уров-нем дохода сберегалось от 20% до 22% от ВВП, а в странах с низким уров-нем дохода на душу населения - от 10% до 19% от ВВП.

Модель Солоу помогает ответить на очень важный вопрос, от которого зависит успех макроэкономической политики правительства: как в стра-не достичь максимального уровня потребления при заданных темпах экономического роста? Условие, при котором достигается максимальный уровень потребления, американский экономист Э. Фелпс в работе «Басня для тех, кто занимается ростом» (1961 г.) назвал золотым правилом на-копления.

В соответствии с золотым правилом, уровень потребления будет са-мым высоким при достижении наибольшей разницы между объемом выпуска f(k*) и объемом выбытия Ък* в условиях устойчивого уров-ня капиталовооруженности, когда &к* равен объему инвестиций.

По-этому потребление по золотому правилу называется устойчивым уров-нем потребления:

Итак, максимального уров-ня потребления с** можно до-стичь только при золотом уровне накопления капитала к**. Такой уровень накопления капитала возможен только при выполнении условия МР К — 8. Это и есть само золотое правило: максимальный уро-вень потребления с** достигается только при МР К = 5 (6)

Действительно, если имеющийся устойчивый запас капитала превыша-ет золотой уровень к**, то при дальнейшем росте капитала его предельный продукт будет меньше нормы выбытия, что снизит уровень потребления. В противном случае рост капитала вызовет повышение потребления, так как МР превысит норму выбытия. Следовательно, золотое правило, т. е. ра-венства МР К = б, является условием достижения максимального уровня по-требления при заданных темпах экономического роста.

Таким образом, для поддержания максимального потребления необходи-мо, чтобы чистая производительность капитала (МР К - б), т. е. предельный продукт капитала, оставшийся после амортизационных отчислений, была равна темпу прироста производства. Рассмотрим, как модифицируется золотое правило, если в модель Со-лоу последовательно ввести условие роста населения и технического про-гресса.

Рост населения влияет на капиталовооруженность так же, как и норма выбытия, то есть уменьшает запасы капитала. Действительно, с ростом L снижается и уровень капиталовооруженности k = K/L, и выпуск на одно-го работника у = f(k)= Y/L. Если в модель Солоу ввести показатель темпа роста населения л, то уровень инвестиций, необходимый для компенсации выбытия капитала и роста населения, должен быть равен (Ь + п) к. Прежний объем капитала распределяется между возросшим количеством работников. Это объясняет снижение устойчивого уровня капиталовооруженности: s f(k) = (б + п) к, что проиллюстрировано на рис. 25.5а. Так же снизится и устойчивый максимальный уровень потребления: с** =f(K*) - (б + п) к*, который с учетом роста населения будет достигаться при таком устойчи-вом уровне накопления к**, который возможен только при МР К = б + п. Итак, максимизирующее уровень потребления золотое правило с учетом роста населения описывается равенством:

МР к =Ь + п (7)

Поэтому для достижения максимального уровня потребления необходи-мо, чтобы чистый предельный продукт капитала (МР К - б) был равен тем-пу прироста населения. Таким образом, по модели Солоу страна с быстро растущими темпами населения будет иметь более низкий устойчивый уро-вень капиталовооруженности и более низкий доход на душу населения.

Воздействие технического прогресса на экономику связано, прежде всего, с приростом эффективности труда (E), идущего постоянным темпом g. Тогда общее количество единиц труда составит L Е и с учетом роста на-селения будет расти темпом n+g. В этом случае к = K/(LE) - количество капитала на единицу труда с постоянной эффективностью, а у = Y/(LE) - объем производства на единицу труда с постоянной эффективностью.

б) к* с учетом роста населения и технического прогресса

Рис. 25.5. Устойчивый уровень капиталовооруженности с учетом параметров роста населения и технического прогресса

Технический прогресс вызывает прирост эффективности труда с постоян-ным темпом g. Следовательно, выпуск на одного работника также растет с темпом g.

Прирост запасов капитала с ростом технического прогресса снизится: Ak = sf(k ) - (6 + п + g)k. Устойчивый уровень капиталовооруженности к* будет достигнут, когда инвестиции полностью смогут компенсировать уменьшение к из-за выбытия капитала, роста населения и технического прогресса: яДй) = (8 + п + g)k. При равновесии к* будет отражать устойчи-вый уровень капиталовооруженности единицы труда с постоянной эффек-тивностью (см. рис. 25.56). Соответственно, устойчивый уровень потреб-ления составит: с** = f(k*) - (5 + я + g) k*. Итак, максимальный устойчи-вый уровень потребления гарантируется таким объемом накопления к**, который достигается при выполнении золотого правила с учетом роста населения и технического прогресса:

МР К = 6 + п +g (8)

Так как выпуск на одного работника в устойчивом состоянии растет темпом g, то валовой выпуск растет темпом n + g. Именно этому темпу выпуска должен соответствовать чистый предельный продукт капитала, чтобы достичь максимального объема потребления в устойчивом состоянии экономики, т. е. МР К - 5 = » + g.

Модель Солоу показывает, что увеличение сбережений приводит в крат-косрочном плане к увеличению капитальных запасов и объему производ-ства. Но это происходит только до момента достижения равновесного со-стояния экономики при устойчивом уровне капиталовооруженности. В дол-госрочном плане рост производства зависит от темпа технического про-гресса. Только этот экзогенный фактор может поддержать непрерывный рост производства, а значит, и рост потребления.

Неокейнсианские модели экономического роста

В неокейнсианских моделях экономический рост исследуется с помо-щью инструментов и методов анализа кейнсианской школы, примененных к динамическим процессам. Напомним, что под динамическим равновеси-ем понимается равенство темпов прироста совокупного спроса и совокуп-ного предложения. Поэтому модели, исследующие достижение и характер такого равенства, называются динамическими.

Необходимо отличать временные лаги от понятий кратко- и долгосроч-ного периода. В динамических моделях, в отличие от статических, крите-рием кратко- или долгосрочности периода является изменение технологии производства. Краткосрочный динамический период характеризуется неиз-менностью технологии, которая может сохраняться в предыдущем, теку-щем и будущем периодах (t 1 , t и t) при варьирующихся темпах реального ВВП. Соответственно, в долгосрочном динамическом плане меняется сам технологический уровень производства.

В основе этой неоклассической модели лежит непрерывная агрегированная производственная функция, характеризующая технические возможности общества.

Модель Солоу наиболее известна среди многообразных моделей с материализованным техническим прогрессом. Существуют множество способов воплощения технического прогресса в материальных условиях производства. У Р. Солоу технический прогресс воплощен в физическом капитале. Технический прогресс с течением времени повышает производительность основного капитала, не нарушая качественную однородность рабочей силы.

Полная модель Солоу представлена в виде уравнения, которое определяет темп накопления, необходимый для поддержания полной занятости:

DK / dt = SF(K, 1) – ПК,

Где dK – приращение капитала; dt – изменение временного отрезка; S – сбережения; K (K, 1) – величина капитала в расчете на одного работника; ПК – величина капитала, необходимая для создания новых рабочих мест.

Данное уравнение можно представить графически (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Модель Солоу

Функция ПК представляет прямую линию, т.к. темп роста рабочей силы – величина постоянная (n). Функция SF(K, 1) есть выпуклая кривая относительно оси абсцисс, т.к. происходит снижение предельной производительности капитала по мере увеличения его объема на единицу труда.

Отмеченные на графике кривые пересекаются в точке Р. Экономический смысл этой точки в том, что при отношении «капитал – труд» (K/L) = KP развитие экономической системы обеспечивает полное использование как труда, так и капитала.

Если отношение K / L = KP < K1, то это означает недостаток роста капитала для создания новых рабочих мест. При такой ситуации часть рабочей силы останется безработной. Исходя из неоклассической теории макроэкономического равновесия в условиях безработицы заработная плата снижается по отношению к норме процента и наиболее оптимальной становится комбинация с меньшим использованием капитала. Отсюда следует, что отношение K / L стремится к равновесной величине.

Обратная комбинация – K / L = KP > K2 – означает избыток капитала по отношению к имеющейся в наличии рабочей силе. В этом случае норма процента снижается по отношению к ставке заработной платы, и оптимальной окажется ориентация на более интенсивную технику. В результате достигается такое отношение K / L, которое обеспечивает полное использование капитала.

Из модели Солоу следуют три вывода: во-первых, существует равновесный темп роста, к которому стремится рыночная экономика; во-вторых, равновесный темп роста совпадает с постоянным эндогенным темпом роста труда, т.е. естественным темпом, и в долгосрочный период не зависит от нормы сбережения; в-третьих, имеются гарантии устойчивости экономического роста, т.е. при отклонении экономической системы от линии равновесия начинают действовать эндогенные механизмы, которые возвращают систему в равновесное состояние.

Учебно-методический комплекс по «Экономической теории» Ч.1 «Основы экономической теории»: учебно - методическое пособие. – Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2010. Составители: Огородникова Т.В., Сергеева С.В.

После работ А. Смита, Д. Рикардо, Т. Мальтуса сформировалась классическая модель экономического роста, которая под давлением критики сменилась неоклассической моделью, чья последующая критика приводит в 1986-1988 годах к формированию эндогенных моделей (П. Ромер, Р. Лукас, С. Ребело и др.) долгосрочный экономический рост формируется уже внутри модели, модели стали эндогенными.

Неоклассические модели роста преодолевали ряд ограничений кейнсианских моделей (Е. Домара, Р. Харрода и др.), позволив более точно описать особенности макроэкономических процессов.

Модель Солоу (Солоу – Свана) – неоклассическая модель, основанная на производственной функции с замещением факторов производства с учетом экзогенного нейтрального технического прогресса, труда и капитала как факторов экономического роста.

Р. Солоу показал, что нестабильность динамического равновесия в кейнсианских моделях была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Вместо функции Леонтьева с жестко фиксированными пропорциями использования факторов производства Y = min{aX 1 , bX 2 } он использовал в своей модели производственную функцию Кобба-Дугласа Y = F(K, L), в которой труд L и капитал K являются субститутами (заменителями). Другими предпосылками анализа в модели Солоу являются: убывающая предельная производительность капитала, постоянная отдача от масштаба, постоянная норма выбытия, отсутствие инвестиционных лагов.

Взаимозаменяемость факторов (изменение капиталовооруженности) объясняется не только технологическими условиями, но и неоклассической предпосылкой о совершенной конкуренции на рынках факторов.

Необходимым условием равновесия экономической системы является равенство совокупного спроса и предложения. Предложение описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба , и для любого положительного z верно: zF(K, L) = F(zK, zL). Тогда если z = 1/L, то Y/L = F(K/L). Получаем производственную функцию удельного выпуска на одного работника.

Обозначим Y/L через у, а К/L через k и перепишем исходную функцию в форме взаимосвязи между производительностью и фондовооруженностью (капиталовооруженностью) работника: у = f(k) (рис. 2.16).

Тангенс угла наклона данной производственной функции соответствует предельному продукту капитала (МРК), который убывает по мере роста фондовооруженности (k).

Совокупный спрос в модели Солоу определяется инвестициями и потреблением:

y = i + c, (2.36)

где i и с – инвестиции и потребление в расчете на одного занятого.

c = (l – s)∙y, (2.37)

где s – норма сбережения (накопления).

Тогда у = с + i = (1 – s)∙y + i, откуда i = s∙y. В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

Условия равенства спроса и предложения могут быть представлены как

f(k) = c + i или f(k) = (1 – s)∙y + i. (2.38)

Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на произведенный продукт.

Динамика объема выпуска зависит от объема капитала (в нашем случае – капитала в расчете на одного занятого, или капиталовооруженности). Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие – уменьшает.

Инвестиции зависят от фондовооруженности и нормы накопления, что следует из условия равенства спроса и предложения в экономике: i = s∙f(k). Норма накопления определяет деление продукта на инвестиции и потребление при любом значении k (см. рис. 2.16): y = f(k) => i = s∙f(k), c = (1 – s)∙f(k).

Амортизационные отчисления учитываются следующим образом: если принять, что ежегодно вследствие износа капитала выбывает его фиксированная часть d (норма выбытия), то величина выбытия будет пропорциональна объему капитала и равна d∙k. На графике эта связь отражается прямой, выходящей из точки начала координат, с угловым коэффициентом d (рис. 2.17).

Влияние инвестиций и выбытия на динамику запасов капитала можно представить уравнением

∆k = i – d∙k, (2.39)

или, используя равенство инвестиций и сбережений, ∆k = s∙f(k) – d∙k.

Запас капитала (k) будет увеличиваться (∆k > 0) до уровня, при котором инвестиции будут равны величине выбытия, т.е. s∙f(k) = d∙k. После этого запас капитала на одного занятого (фондовооруженность) не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы уравновесят друг друга (∆k = 0).

Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется равновесным (устойчивым) уровнем фондовооруженности труда и обозначается k * . При достижении k * экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.

Равновесие является устойчивым, поскольку независимо от исходного значения k экономика будет стремиться к равновесному состоянию k * . Если начальное k 1 ниже k * , то валовые инвестиции будут больше выбытия (s∙f(k) > d∙k) и запас капитала будет возрастать на величину чистых инвестиций. Если k 2 > k * , это означает, что инвестиции меньше, чем износ, а значит запас капитала будет сокращаться, приближаясь к уровню k * (см. рис. 2.17).

Норма накопления (сбережения) непосредственно влияет на устойчивый уровень фондовооруженности. Рост нормы сбережения с s 1 до s 2 сдвигает кривую инвестиций вверх из положения s 1 ∙f(k) до s 2 ∙(k) (рис. 2.18).

В исходном состоянии экономика имела устойчивый запас капитала k 1 * , при котором инвестиции равнялись выбытию. После повышения нормы сбережения инвестиции выросли на (i’ 1 – i 1), а запас капитала (k 1 *) и выбытие (d∙k) остались прежними. В этих условиях инвестиции начинают превышать выбытие, что вызывает рост запаса капитала до уровня нового равновесия k 2 * , которое характеризуется более высокими значениями фондовооруженности и производительности труда (выпуск на одного занятого y).

Таким образом, чем выше норма сбережения (накопления), тем более высокий уровень выпуска и запаса капитала может быть достигнут в состоянии устойчивого равновесия. Однако повышение нормы накопления ведет к ускорению экономического роста в краткосрочном периоде, до тех пор, пока экономика не достигнет точки нового устойчивого равновесия.

Очевидно, что ни сам процесс накопления, ни увеличение нормы сбережения не могут объяснить механизм непрерывного экономического роста. Они показывают лишь переход от одного состояния равновесия к другому.

Для дальнейшего развития модели Солоу поочередно снимаются две предпосылки моделирования, отраженного на рис. 2.16-2.18, – неизменность численности населения и его занятой части (их динамика предполагается одинаковой) и отсутствие технического прогресса. Вначале модель описывает, как система приходит в равновесие при отсутствии учета технического прогресса (т.е. при нейтральности технического прогресса) и постоянной отдаче от масштаба, затем в нее вводятся технологические сдвиги посредством изменения нормы накопления капитала и убывающей отдачи от масштаба.

Пусть население растет с постоянным темпом n. Это фактор, влияющий вместе с инвестициями и выбытием на фондовооруженность. Теперь уравнение, показывающее изменение запаса капитала на одного работника (2.39), будет выглядеть как:

∆k = i – d∙k – n∙k = i – (d + n)∙k. (2.40)

Рост населения, как и выбытие, снижает фондовооруженность, хотя и по-другому – не через уменьшение наличного запаса капитала, а путем распределения его между возросшим числом занятых. В данных условиях необходим такой объем инвестиций, который не только бы покрыл выбытие капитала, но и позволил бы обеспечить капиталом новых рабочих в прежнем объеме. Произведение n∙k показывает, сколько требуется дополнительного капитала в расчете на одного занятого, чтобы капиталовооруженность новых рабочих была на том же уровне, что и прежних.

Условие устойчивого равновесия в экономике при неизменной фондовооруженности k * можно будет записать теперь так:

∆k = s∙f(k) – (d + n) k = 0 или s∙f(k) = (d + n)∙k. (2.41)

Данное состояние характеризуется полной занятостью ресурсов труда и капитала (рис. 2.19).

В устойчивом состоянии экономики капитал и выпуск на одного занятого, т.е. фондовооруженность (k) и производительность труда (у) остаются неизменными. Но чтобы фондовооруженность оставалась постоянной и при росте населения, капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т.е.:

(2.42)

Таким образом, рост населения становится одной из причин непрерывного экономического роста в условиях равновесия.

Отметим, что с увеличением темпа роста населения возрастает угловой коэффициент кривой (d + n)∙k, что приводит к уменьшению равновесного уровня фондовооруженности (k *), а следовательно, к падению у.

Учет в модели Солоу технологического прогресса видоизменяет исходную производственную функцию, так как предполагается трудосберегающая форма технологического прогресса. Производственная функция будет иметь вид Y = F(К, L∙E), где Е – эффективность труда, a (L∙E) – численность условных единиц труда с постоянной эффективностью Е. Чем выше Е, тем больше продукции может быть произведено данным числом работников. Предполагается, что технологический прогресс осуществляется путем роста эффективности труда Е с постоянным темпом g. Рост эффективности труда в данном случае аналогичен по результатам росту численности занятых: если технологический прогресс имеет темп g = 2 %, то, например, 100 рабочих могут произвести столько же продукции, сколько ранее производили 102 рабочих. Если теперь численность занятых (L) растет с темпом n, а эффективность труда растет с темпом g, то (L∙E) будет увеличиваться с темпом (n + g).

Включение технологического прогресса несколько меняет и анализ состояния устойчивого равновесия, хотя ход рассуждений сохраняется. Если определить k как количество капитала в расчете на единицу труда с постоянной эффективностью, то результаты роста эффективных единиц труда, аналогичны росту численности занятых (увеличение количества единиц труда с постоянной эффективностью снижает величину капитала, приходящегося на одну такую единицу). В состоянии устойчивого равновесия (см. рис. 2.19) уровень фондовооруженности k* уравновешивает, с одной стороны, влияние инвестиций, повышающих фондовооруженность, а с другой стороны, воздействие выбытия, роста числа занятых и технологического прогресса, снижающих уровень капитала в расчете на эффективную единицу труда:

s∙∆k = (d + n + g)∙k. (2.43)

В устойчивом состоянии (k*) при наличии технологического прогресса общий объем капитала (К) и выпуска (Y) будут расти с темпом (n + g). Но в отличие от случая роста населения, теперь будут расти с темпом g фондовооруженность K/L и выпуск Y/L в расчете на одного занятого; последнее может служить основой для повышения благосостояния населения. Технологический прогресс в модели Солоу является, следовательно, единственным условием непрерывного роста уровня жизни, поскольку лишь при его наличии наблюдается устойчивый рост выпуска на душу населения (у).

Таким образом, в модели Солоу найдено объяснение механизма непрерывного экономического роста в режиме равновесия при полной занятости ресурсов.

Как известно, в кейнсианских моделях (Р. Харрод, Е. Домар) норма сбережения задавалось экзогенно и определяла величину равновесного темпа роста дохода. В неоклассической модели Солоу при любой норме сбережения рыночная экономика стремится к соответствующему устойчивому уровню фондовооруженности (k *) и сбалансированному росту, когда доход и капитал растут с темпом (n + g). Величина нормы сбережения (накопления) является объектом экономической политики и важна при оценке различных программ экономического роста.

Поскольку равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения (увеличение s лишь на короткое время ускоряло рост экономики, в длительном же периоде экономика возвращалась к устойчивому равновесию и постоянному темпу роста в зависимости от значения n и g), возникает проблема выбора оптимальной нормы сбережения.

Оптимальная норма накопления, соответствующая «золотому правилу» Э. Фелпса , обеспечивает равновесный экономический рост с максимальным уровнем потребления. Устойчивый уровень фондовооруженности, соответствующий этой норме накопления, обозначим k ** , а потребления – с ** .

Уровень потребления в расчете на одного занятого при любом устойчивом значении фондовооруженности определяется путем ряда преобразований исходного тождества: у = с + i. Выражаем потребление с через у и i и подставляем значения данных параметров, которые они принимают в устойчивом состоянии:

c = y – i, с * = f(k *) – d∙k * , (2.44)

где с * – потребление в состоянии устойчивого роста.

По определению устойчивого уровня фондовооруженности i = s∙f(k) = d∙k. Теперь из различных устойчивых уровней фондовооруженности (k *), соответствующих разным значениям s, необходимо выбрать такой, при котором потребление достигает максимума (рис. 2.20).

Если выбрано k * < k ** , то объем выпуска увеличивается в большей степени, чем величина выбытия (линия f(k *) на графике круче, чем d∙k *), а значит, разница между ними, равная потреблению, растет. При k * > k ** увеличение объема выпуска меньше роста выбытия, т.е. потребление падает. Рост потребления возможен лишь до точки k ** , где оно достигает максимума (производственная функция и кривая d∙k * имеют здесь одинаковый наклон). В этой точке увеличение запаса капитала на единицу даст прирост выпуска, равный предельному продукту капитала (МРК), и увеличит выбытие на величину d (износ на единицу капитала). Роста потребления не будет, если весь прирост выпуска будет использован на увеличение инвестиций для покрытия выбытия капитала. Таким образом, при уровне фондовооруженности, соответствующем «золотому правилу» (k **), должно выполняться условие : МРК = d (предельный продукт капитала равен норме выбытия), а с учетом роста населения и технологического прогресса: МРК = d + n + g.

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала, больший, чем следует по «золотому правилу», необходима программа по снижению нормы накопления. Эта программа обусловливает увеличение потребления и снижение инвестиций. При этом экономика выходит из состояния равновесия и вновь достигает его при пропорциях, соответствующих «золотому правилу».

Если экономика в исходном состоянии имеет запас капитала меньше, чем k ** , необходима программа, направленная на повышение нормы сбережения. Эта программа первоначально приводит к росту инвестиций и падению потребления, но по мере накопления капитала с определенного момента потребление вновь начинает расти. В результате экономика достигает нового равновесия, но уже в соответствии с «золотым правилом», где потребление превышает исходный уровень.

Данная программа обычно считается непопулярной в связи с наличием «переходного периода», характеризующегося падением потребления, поэтому ее принятие зависит от межвременных предпочтений политиков, их ориентации на краткосрочный или долгосрочный результат.

Рассмотренная модель Солоу позволяет описать механизм долгосрочного экономического роста, сохраняющий равновесие и полную занятость факторов производства. Она выделяет технический прогресс как единственную основу устойчивого роста благосостояния и позволяет найти оптимальный вариант роста, обеспечивающий максимум потребления.

Представленная модель не свободна и от недостатков. Модель анализирует состояния устойчивого равновесия, достигаемые в долгосрочной перспективе, тогда как для экономической политики важна и краткосрочная динамика производства и уровня жизни. Многие экзогенные переменные модели Солоу (s, δ, n, g) было бы предпочтительнее определять внутри модели, поскольку они тесно связаны с другими ее параметрами и могут видоизменять конечный результат. Так, в модели существует возможность динамической неэффективности, т. е. возможность избыточного накопления капитала по сравнению с уровнем «золотого правила»; этот результат является следствием экзогенного задания нормы сбережения. Также модель не включает также целый ряд ограничителей роста, существенных в современных условиях, – ресурсных, экологических, социальных. Используемая в модели функция Кобба-Дугласа, описывая лишь определенный тип взаимодействия факторов производства, не всегда отражает реальную ситуацию в экономике. Эти и другие недостатки пытаются преодолеть современные теории экономического роста.

Современные теории эндогенного роста пытаются определить устойчивый темп роста в самой модели (т.е. эндогенно), связывая его со всеми возможными количественными и качественными факторами: ресурсными, институциональными.