Скалярное произведение векторов. Записи с меткой "скалярное произведение векторов" Операции над векторами в координатной форме

Скалярным произведением a  b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

где  – угол между векторами a и b .

Скалярное произведение векторов a , b обозначается также при помощи символов ab .

Знак скалярного произведения определяется величиной :

если 0    тоa  b  0,

если же    , то a  b  0.

Скалярное произведение определяется только для двух векторов.

Операции над векторами в координатной форме

Пусть в системе координат Оху даны векторы a = (x 1 ; y 1) = x 1 i + y 1 j и b = (x 2 ; y 2) = x 2 i + y 2 j .

1. Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат векторов-слагаемых, т. е. a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т. е. a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).

3. Каждая координата произведения вектора на число  равна произведению соответствующей координаты этого вектора на , т. е.  а = ( х 1 ;  у 1).

4. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. a  b = x 1  x 2 + + y 1  y 2 .

Следствие. Длина вектора а = (x ; y ) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат, т. е.

=
(5)

Пример 4. Даны векторы
b = 3i – j .

Требуется:

1. Найти

2. Найти скалярное произведение векторов с , d .

3. Найти длину вектора с .

Решение

1. По свойству 3 находим координаты векторов 2а , –а , 3b , 2b : 2а = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –а = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

По свойствам 2, 1 находим координаты векторов с , d : с = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. По свойству 4 сd = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. По следствию из свойства 4 | с | =
=
.

Тест 3 . Определить координаты вектора а + b , если а = (–3; 4), b = = (5; –2):

Тест 4. Определить координаты вектора а – b , если а = (2; –1), b = = (3; –4):

Тест 5 . Найти координаты вектора 3а , если а = (2; –1):

Тест 6 . Найти скалярное произведение a , b векторов а = (1; –4), b = (–2; 3):

Тест 7 . Найти длину вектора а = (–12; 5):

3)
;

Ответы на тестовые задания

1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве состоит из трех взаимно перпендикулярных осей координат, пересекающихся в одной и той же точке (начало координат 0) и имеющих направление, а также единицы масштаба по каждой оси (рисунок 17).

Рисунок 17

Положение точки М на плоскости определяется единственным образом тремя числами – ее координатами M (х т ; у т ; z т ), где х т – абсцисса, у т – ордината, z т – аппликата.

Каждая из них дает расстояние от точки М до одной из плоскостей координат со знаком, учитывающим, по какую сторону от этой плоскости расположена точка: взята ли она в сторону положительного или отрицательного направления третьей оси.

Три координатные плоскости делят пространство на 8 частей (октантов).

Расстояние между двумя точками A (х А ; у А ; z А ) и B (х В ; у В ; z В ) вычисляется по формуле

Пусть даны точки A (х 1 ; у 1 ; z 1) и B (х 2 ; у 2 ; z 2). Тогда координаты точки С (х ; у ; z ), делящей отрезок
в отношении, выражаются следующими формулами:

Пример 1 . Найти расстояние АВ , если А (3; 2; –10) и В (–1; 4; –5).

Решение

Расстояние АВ вычисляется по формуле

Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению с тремя переменными, составляет некоторую поверхность.

Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют двум уравнениям, составляет некоторую линию – линию пересечения соответствующих двух поверхностей.

Всякое уравнение первой степени изображает плоскость, и, обратно, всякая плоскость может быть представлена уравнениями первой степени.

Параметры A , B , C являются координатами нормального вектора, перпендикулярного плоскости, т. е. n = (A ; B ; C ).

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях: a – по оси ОX , b – по оси ОY , с – по оси ОZ :

Пусть даны две плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.

Условие параллельности плоскостей:
.

Условие перпендикулярности плоскостей:

Угол между плоскостями определяется по следующей формуле:

.

Пусть плоскость проходит через точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).

Тогда ее уравнение имеет вид:

Расстояние от точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 находится по формуле

.

Тест 1. Плоскость
проходит через точку:

1) A (–1; 6; 3);

2) B (3; –2; –5);

3) C (0; 4; –1);

4) D (2; 0; 5).

Тест 2 . Уравнение плоскости ОXY следующее:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) y = 0.

Пример 2 . Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости ОXY и проходящей через точку (2; –5; 3).

Решение

Так как плоскость параллельна плоскости ОXY , ее уравнение имеет вид Cz + D = 0 (вектор  = (0; 0; С )  ОХ Y ).

Так как плоскость проходит через точку (2; –5; 3), то C  3 + D = 0 или как D = –3C .

Таким образом, CZ – 3C = 0. Так как С ≠ 0, то z – 3 = 0.

Ответ: z – 3 = 0.

Тест 3 . Уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору (3; –1; –4), имеет вид:

1)

2)

3)

4)

Тест 4 . Величина отрезка, отсекаемого по оси ОY плоскостью
равна:

Пример 3 . Написать уравнение плоскости:

1. Параллельной плоскости
и проходящей через точкуA (2; 0; –1).

2. Перпендикулярной плоскости
и проходящей через точкуB (0; 2; 0).

Решение

Уравнения плоскостей будем искать в виде A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

1. Так как плоскости параллельны, то
ОтсюдаA = 3t ,B = –t ,C = 2t , гдеt R . Пустьt = 1. Тогда A = 3, B = –1, C = 2. Поэтому уравнение принимает вид
Координаты точкиА , принадлежащей плоскости, обращают уравнение в истинное равенство. Следовательно, 32 – 10 + 2(–1) +D = 0. ОткудаD = 4.

Ответ:

2. Поскольку плоскости перпендикулярны, то 3  A – 1  B + 2  C = 0.

Так как переменных три, а уравнение одно, то две переменные принимаютпроизвольные одновременно не равные нулю значения. Пусть A = 1, B = 3. ТогдаC = 0. Уравнение принимает вид
D = –6.

Ответ:

Тест 5 . Указать плоскость, параллельную плоскости x – 2y + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Тест 6 . Указать плоскость, перпендикулярную плоскостиx – 2y + + 6z – 2 = 0:

1)

4)

Тест 7 . Косинус угла между плоскостями 3x + y – z – 1 = 0 и x – 4y – – 5z + 3 = 0определяется по формуле:

1)

2)

3)

Тест 8 . Расстояние от точки (3; 1; –1) до плоскости 3 x – y + 5z + 1 = 0определяется по формуле:

1)

2)

Данный тест может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо установить низкий уровень безопасности (сервис-макрос-безопасность)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Вариант 1 Вариант 2 Использован шаблон создания тестов в PowerPoint МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

Результат теста Верно: 14 Ошибки: 0 Отметка: 5 Время: 3 мин. 29 сек. ещё исправить

Вариант 1 б) 360° а) 180° в) 246° г) 274° д) 454°

Вариант 1 в) 22 а) -22 б) 0 г) 8 д) 1

Вариант 1 д) 5 г) 0 а) 7

Вариант 1 б) тупой д) не существуют, так как их начала не совпадают в) 0° г) острый а) прямой

Вариант 1 б) 10,5 д) ни при каких а) -10,5

Вариант 1 а) -10,5 б) 10,5 д) ни при каких

Вариант 1 д) 0 б) невозможно определить а) -6 г) 4 в) 6

Вариант 1 б) 28 д) невозможно определить а) 70 г) -45,5 в) 91

Вариант 1 9. Две стороны треугольника равны 16 и 5 , а угол между ними равен 120°. Какому из указанных промежутков принадлежит длина третьей стороны? г) д) (19; 31] а) (0 ; 7 ] б) (7; 11] в) а) (0 ; 7 ] б) (7; 11] г)

Вариант 1 13. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 0,5. Найдите отношение синуса угла В к длине стороны АС. д) 1 в) 1 ,3 а) 0,5 г) 2

Вариант 1 14. В треугольнике АВС длины сторон ВС и АВ равны соответственно 5 и 7, а

Вариант 2 в) 360° а) 180° б) 246° г) 274° д) 454°

Вариант 2 д) 22 а) -22 б) 0 г) 8 в) 4

Вариант 2 а) 10 г) 17 д) 15

Вариант 2 в) равен 0 ° д) не существуют, так как их начала не совпадают в) тупой г) острый а) прямой

Вариант 2 б) 10,5 д) ни при каких а) -10,5

Вариант 2 а) - 10,5 д) ни при каких в) 10,5

Вариант 2 г) 0 б) невозможно определить а) -6 д) 4 в) 6

Вариант 2 а) 70 д) невозможно определить б) 28 г) -45,5 в) 91

Вариант 2 9. Две стороны треугольника равны 12 и 7 , а угол между ними равен 60°. Какому из указанных промежутков принадлежит длина третьей стороны? д) (7; 11) г) (19; 31] а) (0 ; 7 ] б) в) д) (19; 31] в)

Вариант 2 13. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2 . Найдите отношение синуса угла В к длине стороны АС. а) 0,25 в) 1 ,3 д) 1 г) 2

Вариант 2 14. В треугольнике АВС длины сторон АС и АВ равны соответственно 9 и 7, а

Ключи к тесту: «Скалярное произведение векторов. Теоремы треугольника» . 1 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. б в д б в а д б г а в в д г 2 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. в д а в г б г а д г в а а г Литература Л.И. Звавич, Е,В. Потоскуев Тесты по геометрии 9 класс к учебнику Л.С. Атанасяна и др. М. : издательство «Экзамен» 2013г.- 128с.

Данный тест с автоматизированной проверкой ответа может быть использован на занятиях промежуточного, обобщающего или итогового контроля знаний учащихся. Для корректной работы теста, необходимо установить низкий уровень безопасности (сервис-макрос-безопасность).

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Вариант 1 Использован шаблон создания тестов в PowerPoint МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

Вариант 1 б) тупой а) острый в) прямой

Вариант 1 в) равно нулю а) больше нуля б) меньше нуля

Вариант 1 б) -½∙а² в) ½∙а²

Вариант 1 4. D АВС – тетраэдр, АВ=ВС=АС=А D=BD=CD . Тогда неверно, что….

Вариант 1 5. Какое утверждение верное?

Вариант 1 б) a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ в) a ₁ b ₂ b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b ₁ b ₂ a ₃ а) а ₁а₂а₃+ b ₁ b ₂ b ₃

Вариант 1 б) - а ² а) 0 в) а²

Вариант 1 а) а б) о

Вариант 1

Вариант 1 а) 7 в) -7 б) -9

Вариант 1 б) -4 а) 4 в) 2

Вариант 1 б) 120° а) 90° в) 60°

Вариант 1 в) 0,7 а) -0,7 б) 1 13. Даны координаты точек: А(1; -1; -4) , В (-3; -1; 0) , С(-1; 2; 5) , D(2; -3; 1) . Тогда косинус угла между прямыми АВ и CD равен……

Вариант 1 в) 4

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Вариант 2 Использован шаблон создания тестов в PowerPoint МКОУ «Погорельская СОШ» Кощеев М.М.

Результат теста Верно: 14 Ошибки: 0 Отметка: 5 Время: 1 мин. 40 сек. ещё исправить

Вариант 2 a) острый б) тупой в) прямой

Вариант 2 а) больше нуля в) равно нулю б) меньше нуля

Вариант 2 б) -½∙а² а) ½∙а²

Вариант 2 4. АВСА ₁В₁С₁ – призма,

Вариант 2 5. Какое утверждение верное?

Вариант 2 a) m ₁ n ₁ + m ₂ n ₂ + m ₃ n ₃ в) m ₁ m ₂ m ₃ + n ₁ n ₂ n ₃ б) (n ₁- m ₁)² + (n ₂- m ₂)² + (n ₃- m ₃)²

Вариант 2 в) - а ² а) 0 б) а²

Вариант 2 а) о в) а²

Вариант 2

Вариант 2 б) 3 в) -3 а) 19

Вариант 2 a) - 0 ,5 б) -1 в) 0,5

Вариант 2 б) 6 0° а) 90° в) 12 0°

Вариант 2 а) 0,7 в) -0,7 б) 1 13. Даны координаты точек: С(3 ; - 2 ; 1) , D(- 1 ; 2 ; 1) , М(2 ; -3 ; 3) , N(-1 ; 1 ; -2) . Тогда косинус угла между прямыми CD и MN равен……

Вариант 2 в) 4

Ключи к тесту: Скалярное произведение векторов. 1 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. б в б в а б б а в а б б в б Литература Г.И. Ковалева, Н.И. Мазурова Геометрия 10-11 классы. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Изд-во «Учитель», 2009г. 2 вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Отв. a а б б б a в а в б a б а б

Вариант 1.

Вариант 2.

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

Вариант 1.

1. Даны точки А(1; 3), В(4; 7), С(-1; -1), D(7; 5), Q(х; 3)

а) Найдите координаты векторов АВ и CD.

б) Найдите длины векторов АВ и СD.

в) Найдите скалярное произведение векторов АВ и СD.

г) Найдите косинус угла между векторами АВ и СD .

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении х векторы СВ и DQ перпендикулярны?

2. В равнобедренном треугольнике АВС угол В прямой, АС = 2√2, ВD – медиана треугольника. Вычислите скалярные произведения векторов BD AC, BD BC, BD BD.

Вариант 2.

1. Даны точки M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; у).

а) Найдите координаты векторов МР и ОК.

б) Найдите длины векторов МР и ОК.

в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК.

г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК.

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении у векторы РК и МR перпендикулярны?

2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ

Вариант 1.

1. Даны точки А(1; 3), В(4; 7), С(-1; -1), D(7; 5), Q(х; 3)

а) Найдите координаты векторов АВ и CD.

б) Найдите длины векторов АВ и СD.

в) Найдите скалярное произведение векторов АВ и СD.

г) Найдите косинус угла между векторами АВ и СD .

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении х векторы СВ и DQ перпендикулярны?

2. В равнобедренном треугольнике АВС угол В прямой, АС = 2√2, ВD – медиана треугольника. Вычислите скалярные произведения векторов BD AC, BD BC, BD BD.

Вариант 2.

1. Даны точки M(2; 3), P(-2; 0), O(0; 0), K(-5; -12), R(4; у).

а) Найдите координаты векторов МР и ОК.

б) Найдите длины векторов МР и ОК.

в) Найдите скалярное произведение векторов МР и ОК.

г) Найдите косинус угла между векторами МР и ОК.

д) Данный угол острый, прямой или тупой (ответ обоснуйте)?

е) При каком значении у векторы РК и МR перпендикулярны?

2. В равностороннем треугольнике МНР НК – биссектрисса, МН = 2. Вычислите скалярные произведения векторов НК МР, НК НР, РМ РМ

Хотите лучше владеть компьютером?

Сервис публикаций Slideshare позволяет конвертировать презентации Power Point, текстовые документы, PDF- файлы (50 Мб) в формат flash. В образовательной деятельности этот сервис можно использовать как для создания портфолио учеников и учителей, так и для обычной демонстрации презентаций, оформления проектных работ.

Читайте новые статьи

Если вы — учитель, то конечно задавались вопросом: какие книги необходимо прочитать, чтобы работа приносила радость и удовлетворение? Несомненно, что сейчас можно найти море информации по этому вопросу в Интернете. Но в таком многообразии очень трудно разобраться. А выяснить, какие книги действительно станут вашими помощниками, потребует много времени. В этой статье вы узнаете о том, какие книги должен прочитать каждый учитель.

Наглядность материала мотивирует детей начальной школы к решению учебной задачи и поддерживает интерес к предмету. Поэтому одним из самых эффективных методов обучения является использование карточек. Карточки можно использовать при обучении любому предмету, в том числе и в кружковой деятельности, и во внеурочной. Например, одни и те же карточки с овощами и фруктами подойдут для обучения счету на уроках математики, и для изучения темы дикие и садовые растения на уроках окружающего мира.